zrychlení, rychlost a dráha z grafů
Pohyb stálou rychlostí se v běžném provozu objevuje jen výjimečně, vozidla během jízdy rychlost téměř pořád upravují. Pokud velikost rychlosti roste, mluvíme o pohybu zrychleném, pokud klesá, o pohybu zpomaleném.
Tempo, jakým se rychlost mění, vyjadřuje zrychlení \(a\). Když se během časového úseku \(\Delta t\) rychlost změní o \(\Delta v\), získáme průměrné zrychlení jako podíl obou změn:
Zrychlení měříme v metrech za sekundu na druhou: \([a] = \dfrac{\mathrm{m\cdot s^{-1}}}{\mathrm{s}} = \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). Necháme-li interval \(\Delta t\) zkrátit na nepatrný okamžik, vyjde okamžité zrychlení, které budeme nazývat zkrátka zrychlení.
Příklad: Cyklista při předjíždění zrychlí během 5 s z 2 m·s⁻¹ na 8 m·s⁻¹:
Hodnota 1,2 m·s⁻² říká, že cyklistovi každou sekundu přibývá 1,2 m·s⁻¹ rychlosti.
Pohyb nazýváme rovnoměrně zrychlený (resp. rovnoměrně zpomalený) přímočarý, jestliže se jeho zrychlení nemění — v libovolných stejně dlouhých intervalech se rychlost změní o totéž. Zrychlení je vektor: při zrychlování míří souhlasně s rychlostí, při zpomalování proti ní.
Vyjdeme-li z klidu (v čase \(t = 0\) je \(v_0 = 0\)), dostaneme úpravou definice zrychlení
Rychlost tedy narůstá přímo úměrně s časem. Pokud těleso na začátku sledování už nějakou počáteční rychlost \(v_0\) má, připočte se k ní:
Rychlost závisí na čase lineárně, a proto její graf tvoří úsek přímky. Hodnota \(v_0\) určuje, v jaké výšce graf na svislé ose začíná.
Graf rychlosti zde vypadá stejně jako graf dráhy u rovnoměrného pohybu, jen se posunul význam veličin: sklon přímky dříve udával rychlost, nyní udává zrychlení.
Na přímce si vybereme dva body ležící přesně v uzlech mřížky, z grafu přečteme rozdíl časů \(\Delta t\) i rozdíl rychlostí \(\Delta v\) a oba údaje podělíme:
Jak číst graf rychlosti:
• výška grafu v daném čase = okamžitá rychlost; bod, kde graf protíná svislou osu = počáteční rychlost \(v_0\),
• sklon (směrnice) grafu = zrychlení; čím strmější přímka, tím větší zrychlení,
• vodorovná čára = rychlost je konstantní, \(a = 0\) (rovnoměrný pohyb),
• klesající čára = těleso brzdí.
Při rovnoměrně zpomaleném pohybu míří zrychlení proti rychlosti, takže velikost rychlosti s časem lineárně ubývá:
Minus ve vzorci už samo vyjadřuje brzdění, proto do něj dosazujeme velikost zrychlení (kladné číslo). Graf rychlosti je klesající přímka. Těleso se zastaví ve chvíli, kdy \(v = 0\), tedy po době \(t = v_0/a\).
Vyjde-li zrychlení přímo z grafu podle vztahu \(a = \Delta v/\Delta t\), bude u brzdění záporné: \(a = \dfrac{0 - 15\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}}{6\ \mathrm{s}} = -2{,}5\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). Oba zápisy popisují totéž: zrychlení má velikost 2,5 m·s⁻² a směr proti pohybu. V tréninku proto zadávejte zrychlení i se znaménkem; při brzdění tedy záporné.
Zrychlení je u tohoto pohybu konstantní, takže graf zrychlení je vodorovná přímka. Plocha pod ní vyjadřuje přírůstek rychlosti — obdobně jako plocha pod grafem rychlosti vyjadřuje uraženou dráhu.
Už u rovnoměrného pohybu odpovídala dráha obdélníku pod grafem rychlosti. Pravidlo platí obecně: dráha se rovná obsahu plochy pod grafem rychlosti, ať je pohyb jakýkoli.
Při rozjezdu z klidu tvoří plocha pod grafem trojúhelník o základně \(t\) a výšce \(v = a\,t\):
Dráha při rozjezdu z klidu je tedy přímo úměrná čtverci času. Má-li těleso navíc počáteční rychlost \(v_0\), rozdělí se plocha pod grafem na obdélník (výška \(v_0\)) a nad ním ležící trojúhelník:
Při rovnoměrně zpomaleném pohybu urazí těleso o \(\tfrac{1}{2}a t^2\) méně, než by urazilo při stálé rychlosti \(v_0\). Nezačíná-li pohyb v počátku, ale v poloze \(s_0\) (počáteční dráha), přičteme ji k výsledku:
Stejnou plochu můžeme vyjádřit i jako lichoběžník, tedy jako aritmetický průměr počáteční a koncové rychlosti vynásobený dobou: \(s = \dfrac{v_0 + v}{2}\,t\). Výraz \(\dfrac{v_0 + v}{2}\) je přitom průměrná rychlost na daném úseku rovnoměrně zrychleného pohybu.
Kontrola jednotek: \([v_0 t] = \mathrm{m\cdot s^{-1} \cdot s} = \mathrm{m}\) a \([\tfrac{1}{2} a t^2] = \mathrm{m\cdot s^{-2} \cdot s^2} = \mathrm{m}\). Oba sčítance vycházejí v metrech, vztah je tedy jednotkově správný.
Dráha je úměrná čtverci času, a proto graf dráhy tvoří část paraboly. Kulička, která se z klidu rozkutálí po nakloněné rovině se zrychlením 1 m·s⁻², postupně ujede:
| t (s) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| s (m) | 0 | 2 | 8 | 18 |
Zatímco časy jsou v poměru 1 : 2 : 3, dráhy jsou v poměru 1 : 4 : 9 — dvojnásobný čas znamená čtyřnásobnou dráhu.
Sklon grafu dráhy v libovolném bodě odpovídá okamžité rychlosti. Při zrychlování je křivka čím dál strmější, při zpomalování se vyrovnává a ve chvíli zastavení se její tečna stane vodorovnou. Přečteme-li z grafu dráhu \(s\) uraženou za čas \(t\) od startu z klidu, zrychlení vyjádříme ze vztahu \(s = \tfrac{1}{2}at^2\):
Podíl \(s/t\) z grafu dráhy nedává okamžitou rychlost, ale pouze rychlost průměrnou. Kulička ujede za 6 s celkem 18 m, v průměru tedy 3 m·s⁻¹, kdežto na konci úseku se valí rychlostí \(v = a\,t = 6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).
Automobil jedoucí rychlostí \(v_0 = 20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\) brzdí se zrychlením o velikosti \(a = 4\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}\). Zastavení nastane po \(t = v_0/a = 5\ \mathrm{s}\) a brzdná dráha vyjde
Dosazením \(t = v_0/a\) do vzorce pro dráhu odvodíme obecný výraz pro brzdnou dráhu; shoduje se s obsahem trojúhelníku pod grafem rychlosti:
Brzdění až do zastavení odpovídá rozjezdu z klidu přehranému pozpátku. Počáteční rychlost i zrychlení proto z grafu dráhy získáme vztahy \(v_0 = \dfrac{2s}{t}\) a \(a = \dfrac{2s}{t^2}\).
Reakční dráha. Řidič začne brzdit až po reakční době (zhruba 1 s), v níž auto dál jede stálou rychlostí. Uvažme rychlost 25 m·s⁻¹ (90 km·h⁻¹) a brzdění se zrychlením o velikosti 5 m·s⁻²:
Brzdná dráha roste se čtvercem počáteční rychlosti: při dvojnásobné rychlosti (50 m·s⁻¹) vyjde čtyřikrát delší, tedy 250 m.
Příklad: Souprava metra se z klidu rozjíždí 6 s, až dosáhne 12 m·s⁻¹, dalších 8 s jede touto rychlostí a posledních 6 s rovnoměrně brzdí do zastavení.
| úsek | pohyb | Δt (s) | a (m·s⁻²) | Δs (m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | rovnoměrně zrychlený | 6 | 2 | ½ · 12 · 6 = 36 |
| 2 | rovnoměrný | 8 | 0 | 12 · 8 = 96 |
| 3 | rovnoměrně zpomalený | 6 | −2 | ½ · 12 · 6 = 36 |
Graf rychlosti je lomená čára složená ze stoupající, vodorovné a klesající úsečky. Dráhu zjistíme sečtením ploch pod grafem:
Graf dráhy má tři části: parabolu se stále rostoucím sklonem (rozjezd), přímku (stálá rychlost) a parabolu, jejíž sklon klesá k nule (brzdění). Na hranicích úseků na sebe křivky plynule navazují.
• Zrychlení \(a = \Delta v/\Delta t\) se měří v m·s⁻²; u rovnoměrně zrychleného i zpomaleného pohybu se nemění.
• Rychlost: \(v = v_0 + a t\) při zrychlování, \(v = v_0 - a t\) při zpomalování (\(a\) je velikost zrychlení).
• Dráha: \(s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2\), z klidu \(s = \tfrac{1}{2} a t^2\); zpomalený \(s = v_0 t - \tfrac{1}{2} a t^2\); brzdná dráha \(s = v_0^2/(2a)\).
• Graf \(v(t)\) je přímka: výška udává rychlost, sklon zrychlení a plocha pod ním dráhu.
• Graf \(s(t)\) je část paraboly: při zrychlování se sklon zvětšuje, při zpomalování zmenšuje.
• Pohyb z více úseků: dráhy jednotlivých úseků sčítáme a průměrná rychlost je celková dráha dělená celkovou dobou.