čtení grafů dráhy, polohy a rychlosti
Pohyb, při kterém těleso urazí za stejné doby stejné dráhy, se nazývá rovnoměrný pohyb. Velikost okamžité rychlosti se nemění a je rovna průměrné rychlosti — mluvíme proto stručně jen o rychlosti \(v\). Nejjednodušší je rovnoměrný přímočarý pohyb.
Rychlost rovnoměrného pohybu vypočteme z libovolného úseku pohybu — vyjde vždy stejně:
Začneme-li měřit čas i dráhu od nuly (\(t_0 = 0\), \(s_0 = 0\)), dostaneme známé vztahy
Je-li těleso v čase \(t = 0\) už ve vzdálenosti \(s_0\) od zvoleného počátku (tzv. počáteční dráha), platí obecnější vztah
Vztahy platí pro rovnoměrný pohyb přímočarý i křivočarý. U rovnoměrného křivočarého pohybu se mění směr rychlosti, její velikost ale zůstává stálá.
Závislost dráhy na čase znázorňujeme v pravoúhlé soustavě souřadnic: čas na vodorovné ose, dráha na svislé ose. Takovému grafu stručně říkáme graf dráhy.
Protože dráha rovnoměrného pohybu je lineární funkcí času, je grafem dráhy část přímky. Může tedy vypadat následovně:
Má-li těleso počáteční dráhu \(s_0\), přímka nezačíná v počátku, ale na svislé ose ve výšce \(s_0\) — celý graf je o \(s_0\) posunutý nahoru (viz graf v dalším oddílu).
Graf dráhy není trajektorie! Trajektorie je čára, po které se těleso pohybuje. Graf dráhy ukazuje, jak dráha závisí na čase. I těleso jedoucí rovnoměrně po kružnici má grafem dráhy přímku.
Na přímce zvolíme dva body — nejlépe v průsečících mřížky, aby se hodnoty dobře odečítaly. Odečteme, o kolik se mezi nimi změnil čas (\(\Delta t\)) a dráha (\(\Delta s\)), a vydělíme:
U rovnoměrného pohybu vyjde stejná rychlost pro kterékoli dva body přímky. Rychlost proto udává sklon (směrnici) přímky. Počáteční dráha \(s_0\) na rychlost vliv nemá — graf s \(s_0\) a bez \(s_0\) je pro stejnou rychlost stejně strmý.
Jak číst graf dráhy:
• strmější přímka = větší rychlost (větší dráha za stejný čas),
• vodorovná čára = těleso stojí (\(v = 0\)), dráha se nemění,
• začátek grafu na svislé ose = počáteční dráha \(s_0\).
Rychlost rovnoměrného pohybu se s časem nemění, proto je grafem rychlosti část přímky rovnoběžná s časovou osou.
Dráha = obsah plochy pod grafem rychlosti. U rovnoměrného pohybu je to obdélník o stranách \(t\) a \(v\):
To odpovídá grafu dráhy vozíku v předchozím oddílu. Stejným způsobem — jako obsah plochy pod grafem \(v(t)\) — určíme dráhu jakéhokoli pohybu, i takového, kde se rychlost mění (využijeme to u rovnoměrně zrychleného pohybu).
Z grafu rychlosti zjistíme jen dráhu uraženou během sledované doby, ne počáteční dráhu \(s_0\) — tělesa se stejnou rychlostí mají stejný graf rychlosti, ať vyjela odkudkoli.
Skutečné pohyby bývají složené z několika úseků, na každém z nich se ale těleso může pohybovat rovnoměrně. Příklad: Cyklista jede 10 s rychlostí 5 m·s⁻¹, pak 10 s stojí na semaforu, dalších 5 s jede rychlostí 8 m·s⁻¹ a posledních 15 s stoupá do kopce rychlostí 2 m·s⁻¹.
| úsek | děj | Δt (s) | v (m·s⁻¹) | Δs = v·Δt (m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | jízda | 10 | 5 | 50 |
| 2 | stání na semaforu | 10 | 0 | 0 |
| 3 | rychlá jízda | 5 | 8 | 40 |
| 4 | jízda do kopce | 15 | 2 | 30 |
Graf dráhy sestrojíme úsek po úseku — každý úsek je úsečka se sklonem podle své rychlosti, úsek stání je vodorovný:
Graf rychlosti se skládá z vodorovných úseček v různých výškách. Dráhu na každém úseku dostaneme jako obsah obdélníku pod grafem, celkovou dráhu jako součet obsahů:
Průměrná rychlost za celou jízdu je celková dráha dělená celkovou dobou:
Průměrná rychlost není aritmetický průměr rychlostí na úsecích: \((5 + 0 + 8 + 2)/4 = 3{,}75\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\) je špatně. Úseky trvají různě dlouho, proto vždy počítáme \(v_\mathrm{p} = \dfrac{\text{celková dráha}}{\text{celková doba}}\).
Dráha se s časem může jen zvětšovat nebo zůstat stejná, proto graf dráhy nikdy neklesá — ani když se těleso vrací. Chceme-li zachytit i směr pohybu, kreslíme místo dráhy graf polohy: na svislé ose je poloha \(x\), tedy vzdálenost tělesa od jednoho zvoleného místa (počátku), třeba výška nad přízemím. Takový graf měří i ultrazvukový snímač polohy.
• těleso se vzdaluje od počátku → graf polohy roste,
• těleso se vrací k počátku → graf polohy klesá,
• těleso stojí → graf polohy je vodorovný.
Příklad: Výtah stojí ve 2. patře ve výšce 6 m nad přízemím. V čase 5 s se rozjede a za 10 s vyjede do 7. patra ve výšce 21 m. Tam 10 s stojí, pak za 10 s sjede do 1. patra ve výšce 3 m a zůstane stát.
Pro srovnání je tu graf dráhy téhož pohybu. Dráha se měří od začátku sledování, ne od přízemí, a při jízdě dolů dál roste:
Změna polohy \(\Delta x = x - x_0\) může být kladná i záporná, dráha je vždy kladná nebo nulová. Výtah skončí o 3 m níž, než vyjel (\(\Delta x = 3\ \mathrm{m} - 6\ \mathrm{m} = -3\ \mathrm{m}\)), urazí ale dráhu \(15 + 18 = 33\ \mathrm{m}\).
Leží-li těleso na druhé straně počátku (třeba pod přízemím v podzemním patře), zapisujeme jeho polohu se záporným znaménkem, \(x < 0\).
Rychlost lze počítat i z grafu polohy — jako sklon grafu polohy. Označujeme ji \(v_x\), protože je to rychlost ve směru osy x (směr od počátku):
Na rozdíl od rychlosti \(v = \Delta s / \Delta t\) počítané z dráhy má \(v_x\) znaménko:
• těleso se vzdaluje od počátku (graf polohy roste) → \(v_x > 0\),
• těleso se vrací (graf polohy klesá) → \(v_x < 0\),
• těleso stojí → \(v_x = 0\).
Pro výtah z předchozího příkladu vyjde
Graf rychlosti počítané z dráhy by pro stejný pohyb vypadal takto — nikdy neklesne pod osu \(t\), protože dráha neubývá:
Záporné znaménko říká jen to, že výtah jede opačným směrem než nahoru, velikost rychlosti dolů je 1,8 m·s⁻¹. Klesající úsek v grafu polohy je strmější než stoupající, protože dolů jede výtah rychleji.
Obsah plochy mezi grafem \(v_x(t)\) a osou \(t\) je změna polohy \(\Delta x\), přičemž plochy pod osou \(t\) se počítají záporně:
To souhlasí s grafem polohy (\(3\ \mathrm{m} - 6\ \mathrm{m} = -3\ \mathrm{m}\)). Dráhu dostaneme jako součet obsahů bez ohledu na znaménko: \(s = 15 + 18 = 33\ \mathrm{m}\).
Pohybují-li se dvě tělesa po téže trajektorii, nakreslíme jejich grafy do jednoho obrázku. Průsečík grafů udává čas a místo setkání.
• Rovnoměrný pohyb: za stejné doby stejné dráhy, rychlost je stálá; \(s = v\,t\), obecně \(s = s_0 + v\,t\).
• Graf dráhy \(s(t)\) je přímka; její sklon udává rychlost \(v = \Delta s/\Delta t\) — strmější = rychlejší, vodorovná = stojí.
• Graf rychlosti \(v(t)\) je vodorovná přímka; dráha = obsah plochy pod grafem.
• U pohybu z více úseků: \(s(t)\) je lomená čára, \(v(t)\) „schody“; průměrná rychlost = celková dráha / celková doba.
• Graf polohy \(x(t)\) roste, když se těleso vzdaluje od počátku, a klesá, když se vrací; graf dráhy nikdy neklesá.
• Rychlost \(v_x = \Delta x/\Delta t\) z grafu polohy je při návratu záporná; plocha pod grafem \(v_x(t)\) je změna polohy (pod osou záporně), dráha je součet obsahů bez znaménka.
• Průsečík grafů dvou těles = čas a místo jejich setkání.
Uvidíte zadaný graf rychlosti v(t) a čtyři grafy dráhy s(t) — nebo naopak zadaný graf dráhy a čtyři grafy rychlosti. Stejně se přiřazují i graf polohy x(t) a graf rychlosti vx(t) z polohy (ten může být záporný, když se těleso vrací). Vyberte ten graf, který popisuje stejný pohyb jako zadaný graf. Za správnou odpověď získáte 5 bodů v lehké obtížnosti, 10 bodů ve střední a 15 bodů v těžké. Za špatnou odpověď (i za „Nevím“) se strhává 5 bodů. Po vypršení zvoleného času se hra ukončí.