kinematika hmotného bodu
Průměrnou rychlost získáme jako
kde \(s\) je celková dráha a \(t\) celková doba, za kterou byla tato dráha uražena. Průměrná rychlost se tedy vztahuje na celý pohyb (celou dobu \(t\), celou dráhu \(s\)) — neříká nic o tom, jak rychle se těleso pohybovalo v jednotlivých okamžicích.
Převod jednotek: \(1\ \mathrm{km\cdot h^{-1}} = \frac{1}{3{,}6}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\) a naopak \(1\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} = 3{,}6\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}\).
Během jízdy se rychlost mění — auto zrychluje, brzdí, projíždí zatáčky. Chceme-li zjistit, jak rychle se pohybovalo jen na části trajektorie, potřebujeme změny dráhy a času na vybraném úseku. Značíme je řeckým písmenem Δ (delta):
Δ vždy znamená změnu veličiny a počítá se jako koncová hodnota mínus počáteční hodnota. Znaménko změny udává trend — např. Δ > 0 znamená růst, Δ < 0 pokles.
Chceme-li určit průměrnou rychlost na celé trajektorii složené z několika úseků \(\Delta s_1, \Delta s_2, \dots\) s dobami \(\Delta t_1, \Delta t_2, \dots\), nelze prostě zprůměrovat rychlosti jednotlivých úseků. Musí se sečíst zvlášť všechny dráhy a zvlášť všechny časy: \(v_\mathrm{p} = \dfrac{\Delta s_1+\Delta s_2+\dots}{\Delta t_1+\Delta t_2+\dots}\). Např. auto, které 9 h stálo a pak 1 h jelo rychlostí 50 km/h, ujelo 50 km za 10 h, tedy \(v_\mathrm{p}=5\ \mathrm{km/h}\) — ne 25 km/h, jak by vyšlo z chybného aritmetického průměru rychlostí.
Čím kratší časový interval \(\Delta t\) zvolíme, tím přesněji vystihuje výpočet \(v = \Delta s/\Delta t\), jak rychle se těleso pohybovalo v konkrétním okamžiku. Zkrátíme-li interval \(\Delta t\) až na jediný okamžik (v limitě), dostaneme okamžitou rychlost — rychlost tělesa v daném časovém bodě, kterou u auta ukazuje tachometr.
Průměrná rychlost tedy shrnuje celý úsek pohybu do jednoho čísla, zatímco okamžitá rychlost popisuje pohyb v konkrétním okamžiku.
Pohyb, při kterém se velikost okamžité rychlosti nemění, se nazývá pohyb rovnoměrný. Mění-li se, jde o pohyb nerovnoměrný.
Rychlost je ve skutečnosti vektorová veličina — má nejen velikost, ale i směr (leží v tečně k trajektorii). V praxi se ale slovem „rychlost" častěji míní jen její velikost, tak jako v této tabulce a v běžné řeči.
Video v záložce Video zachycuje rychlostní test auta Bugatti Chiron. Na osmi místech videa odečteme čas, ujetou dráhu a rychlost na tachometru:
| t (s) | 4 | 8,2 | 12,1 | 15,8 | 21,5 | 24 | 27,4 | 30,2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s (m) | 37 | 249 | 559 | 931 | 1562 | 1814 | 2005 | 2049 |
| v (km/h) | 101 | 246 | 334 | 383 | 409 | 284 | 121 | 1 |
Průměrná rychlost auta za celou dobu měření (v km/h):
Rychlost v prvním úseku (od 0 s do 4 s):
Tachometr přitom ve 4. s ukazuje 101 km/h — okamžitá rychlost na konci úseku je mnohem větší než průměrná rychlost v celém úseku, protože auto se z klidu rozjíždí.
Tabulku výše doplňte do interaktivní tabulky v záložce Video — tlačítka Doplnit Δt, Doplnit Δs a Doplnit vi pak dopočítají zbylé řádky stejným postupem.
• Průměrná rychlost: \(v_\mathrm{p} = s/t\) (za celý úsek pohybu).
• Rychlost na části pohybu: \(v = \Delta s/\Delta t\).
• \(\Delta\) = změna = koncová hodnota mínus počáteční; znaménko udává trend.
• Okamžitá rychlost = limita pro velmi krátký časový interval (ukazuje ji tachometr).
Stiskem Enter se za běhu videa (video se nezastaví) do tabulky do řádku t (s) zapíše čas videa mínus 106 s a k němu dráha s (m) a rychlost v (km/h) ve videu. Po čase 30,2 s se dráha a rychlost nedoplní, takže je napište ručně. Mezerníkem se video pozastaví nebo spustí.
Při každé pauze videa se do tabulky do řádku t (s) zapíše čas videa mínus 106 s a k němu dráha s (m) a rychlost v (km/h) ve videu. Po čase 30,2 s se dráha a rychlost nedoplní, takže je napište ručně.
| t (s) |
|---|
| s (m) |
| v (km/h) |
| Δt (s) |
| Δs (m) |
| vi (km/h) |