optika — zobrazování optickými soustavami
Čočka je optická soustava ze stejnorodé průhledné látky (sklo, plast), která je ohraničená dvěma lámavými plochami — nejčastěji kulovými, popř. jednou kulovou a jednou rovinnou. Světlo se na obou plochách láme. Omezíme se na tenké čočky, jejichž tloušťka je zanedbatelná proti poloměrům křivosti ploch; u nich si můžeme představit, že se paprsek láme jen jednou, v rovině procházející středem čočky.
(Platí to pro čočku z látky s větším indexem lomu, než má okolí, např. skleněnou čočku ve vzduchu.)
Opět uvažujeme jen paraxiální paprsky (blízko optické osy a s malými úhly vůči ní) — jen pro ně čočka zobrazuje bod předmětu do jediného bodu obrazu.
Paprsky rovnoběžné s optickou osou se po průchodu spojkou protínají v obrazovém ohnisku \(F'\) za čočkou — je to skutečné ohnisko. Po průchodu rozptylkou se rozbíhají a v ohnisku \(F'\) (před čočkou) se protínají jen jejich zpětná prodloužení — jde o zdánlivé ohnisko. Paprsky vycházející z předmětového ohniska \(F\) (u rozptylky do něj mířící) z čočky vycházejí rovnoběžně s osou.
Lámavost čočky vyjadřuje optická mohutnost
Ohnisková vzdálenost tenké čočky závisí na poloměrech křivosti \(r_1\), \(r_2\) jejích ploch a na indexu lomu \(n_2\) látky čočky vzhledem k indexu lomu \(n_1\) okolí:
Poloměr křivosti vypuklé plochy je kladný, duté plochy záporný; pro rovinnou plochu je \(\frac{1}{r} = 0\).
Znaménková konvence: předmětová vzdálenost \(a\) je kladná před čočkou (na straně, odkud přichází světlo), obrazová vzdálenost \(a'\) je kladná za čočkou. Spojka má \(f > 0\) a \(\varphi > 0\), rozptylka \(f < 0\) a \(\varphi < 0\). Velikosti \(y\), \(y'\) jsou nad optickou osou kladné, pod ní záporné.
Obraz bodu předmětu sestrojíme pomocí význačných paprsků. Ke konstrukci stačí dva, třetí můžeme použít ke kontrole:
Vyberte druh čočky a význačný paprsek. Plná čára je skutečný paprsek, čárkovaně je jeho zpětné prodloužení.
Protnou-li se lomené paprsky za čočkou, vznikne skutečný obraz — lze ho zachytit na stínítku. Protnou-li se jen jejich zpětná prodloužení před čočkou, vznikne zdánlivý obraz — vidíme ho při pohledu přes čočku, ale na stínítko ho zachytit nelze.
Předmět \(AB\) (bod \(A\) na optické ose) má velikost předmětu \(y\) a leží v předmětové vzdálenosti \(a = |AO|\). Jeho obraz \(A'B'\) má velikost obrazu \(y'\) a leží v obrazové vzdálenosti \(a' = |A'O|\). Pro tenkou čočku a paraxiální paprsky platí zobrazovací rovnice čočky — stejného tvaru jako u kulového zrcadla:
Kolikrát je obraz větší (popř. menší) než předmět, vyjadřuje příčné zvětšení
Vztah pro zvětšení plyne z podobnosti trojúhelníků, které vytíná středový paprsek: \(\triangle ABO \sim \triangle A'B'O\).
Na optické lavici (kolejnice se stupnicí) postavíme zdroj s předmětem, čočku a stínítko. Posouváme jedním z nich, dokud na stínítku nevznikne ostrý obraz. Ze stupnice odečteme předmětovou vzdálenost \(a\) a obrazovou vzdálenost \(a'\) a ze zobrazovací rovnice vypočítáme
Zdánlivý obraz na stínítko zachytit nelze, můžeme se na něj ale podívat — okem nebo fotoaparátem. Použijeme fotoaparát zaostřený na pevnou vzdálenost \(d\) (podobně jako oko zaostřené na blízký bod) a posouváme ho za čočkou, dokud v hledáčku nevidíme obraz ostře. Pak leží zdánlivý obraz právě ve vzdálenosti \(d\) před fotoaparátem: \(x_{\text{obraz}} = x_{\text{fotoaparát}} - d\). Zdánlivý obraz leží před čočkou, proto do vzorce dosazujeme \(a' < 0\).
| Veličina | kladná (+) | záporná (−) |
|---|---|---|
| \(a'\) | obraz za čočkou — skutečný | obraz před čočkou — zdánlivý |
| \(y'\), \(Z\) | vzpřímený | převrácený |
Je-li \(|Z| > 1\), je obraz zvětšený; je-li \(|Z| < 1\), je zmenšený; při \(|Z| = 1\) je stejně velký.
| Čočka | Předmětová vzdálenost | Obrazová vzdálenost | Vlastnosti obrazu |
|---|---|---|---|
| spojka | \(\infty > a > 2f\) | \(f < a' < 2f\) | skutečný, převrácený, zmenšený |
| spojka | \(a = 2f\) | \(a' = 2f\) | skutečný, převrácený, stejně velký |
| spojka | \(2f > a > f\) | \(2f < a' < \infty\) | skutečný, převrácený, zvětšený |
| spojka | \(a = f\) | \(a' \to \infty\) | obraz nevzniká (lomené paprsky jsou rovnoběžné) |
| spojka | \(a < f\) | \(a' < 0\) (před čočkou) | zdánlivý, vzpřímený, zvětšený (lupa) |
| rozptylka | \(\infty > a > 0\) | \(f < a' < 0\) (před čočkou) | zdánlivý, vzpřímený, zmenšený |
Skutečný zmenšený obraz vytváří spojka např. ve fotoaparátu nebo v oku, skutečný zvětšený v projektoru. Předmět mezi ohniskem a spojkou vidíme zdánlivě zvětšený — tak funguje lupa. Rozptylky se používají např. v brýlích pro krátkozraké.
Zvolte druh čočky a posouvejte předmět tažením v obrázku (za tečku na hrotu šipky měníte jeho velikost); tažením ohniska F nebo F′ měníte ohniskovou vzdálenost. Program dokreslí význačné paprsky, sestrojí obraz a vypíše jeho polohu, zvětšení a vlastnosti. Skutečný obraz je kreslený plnou čarou, zdánlivý čárkovaně.
Předmět chytněte myší nebo prstem (za šipku nebo kroužek na ose); tažením za tečku na hrotu šipky měníte jeho velikost y. Ohniskovou vzdálenost měníte posunutím ohniska F nebo F′ v obrázku. Jeden dílek na ose = 1 cm. Tenká čočka je nakreslená jen schematicky: paprsky se lámou v rovině jejího středu a její vyklenutí jen naznačuje, jak silně láme (čím menší ohnisková vzdálenost, tím je vypouklejší).
Na optické lavici je zdroj (osvětlené písmeno F), čočka s neznámou ohniskovou vzdáleností a stínítko. Jednu z těchto tří věcí posouvejte, dokud není obraz na stínítku ostrý. Z poloh na lavici pak určete předmětovou vzdálenost \(a\), obrazovou vzdálenost \(a'\) a vypočítejte ohniskovou vzdálenost \(f\). U zdánlivého obrazu je místo stínítka fotoaparát zaostřený na pevnou vzdálenost — přes čočku vidí ostře jen to, co je přesně v této vzdálenosti před ním. Když je obraz v hledáčku ostrý, leží zdánlivý obraz právě tak daleko před fotoaparátem.