hledanou veličinu vypočítáme ze vzorce z jiných změřených veličin
Hledanou veličinu (např. hustotu tělesa) nedokážeme změřit přímo jedním měřidlem. Změříme proto jiné, pomocné veličiny a hledanou veličinu z nich vypočítáme podle vzorce. Odchylky pomocných veličin se přitom „přenesou“ i do výsledku — jak, závisí na tom, jaké početní operace ve vzorci jsou.
Příprava
Měření
Všechny naměřené pomocné veličiny zpracujeme podle pravidel přímého měření:
Měříme-li veličinu jen jednou, nahradí průměr naměřená hodnota a odchylku přesnost měřidla.
Jak určit odchylku \(\Delta v\) výsledku, záleží na operacích ve vzorci — viz následující části. Ve všech případech „průměrnou“ hodnotu \(\bar{v}\) už musíme mít spočítanou.
Ve vzorci se pomocné veličiny pouze sčítají nebo odčítají (i kombinovaně), např. \(v = x + y - z\).
\[\Delta v = \Delta x + \Delta y + \Delta z + \cdots\]
Odchylky se sčítají i při odčítání veličin — chyby se nikdy navzájem neodečtou.
Rozklikejte si postup krok po kroku — další krok se odemkne, jakmile otevřete ten předchozí.
Obvod je součet délek stran.
Objem tělesa určíme jako rozdíl objemu vody s ponořeným tělesem a bez něj.
I když objemy odčítáme, odchylky sčítáme.
Ve vzorci se pomocné veličiny pouze násobí nebo dělí (i kombinovaně), např. \(v = \dfrac{x \cdot y}{z}\).
\[\delta v = \delta x + \delta y + \delta z + \cdots\]
\[\Delta v = \dfrac{\delta v \cdot \bar{v}}{100\ \%}\]
Pomocné veličiny se ve vzorci pouze umocňují nebo odmocňují.
umocnění — relativní odchylka se vynásobí mocnitelem:
\[\bar{v} = \bar{x}^{\,n} \quad\Rightarrow\quad \delta v = n \cdot \delta x\]
odmocnění — relativní odchylka se vydělí odmocnitelem:
\[\bar{v} = \sqrt[n]{\bar{x}} \quad\Rightarrow\quad \delta v = \dfrac{\delta x}{n}\]
Začínáme relativní odchylkou a uplatníme obě předchozí pravidla zároveň: relativní odchylky sčítáme, u mocniny je násobíme mocnitelem a u odmocniny dělíme odmocnitelem. Konstanty (čísla, \(\pi\)) odchylku nemají. Například pro hustotu válečku:
\[\rho = \dfrac{4 \cdot m}{\pi \cdot d^2 \cdot v} \quad\Rightarrow\quad \delta\rho = \delta m + 2 \cdot \delta d + \delta v\]
Zbylé kroky jsou stejné jako u násobení a dělení.
U válečku jsme opakovaně změřili průměr \(d\), výšku \(v\) a hmotnost \(m\) a zpracovali je jako přímé měření.
Objem válce je \(V = \dfrac{\pi d^2}{4} \cdot v\), hustota \(\rho = \dfrac{m}{V}\).
Délky převedeme na centimetry, aby vyšla hustota v \(\mathrm{g \cdot cm^{-3}}\). Výsledek si necháme s dostatečným počtem cifer.
Průměr \(d\) je ve druhé mocnině, proto jeho relativní odchylku násobíme dvěma.
Odchylka je v řádu setin, proto i hustotu zaokrouhlíme na setiny.
Relativní odchylku už nepřepočítáváme.
Pokud vzorec kombinuje sčítání a odčítání s násobením, dělením či mocninami, je zpracování nejnáročnější.
Příklad: součet \(a + c\) nahradíme veličinou \(D\) a rozdíl \(w - d\) veličinou \(H\):
\[v = \dfrac{(a + c) \cdot (w - d)}{q \cdot i} \quad\Rightarrow\quad v = \dfrac{D \cdot H}{q \cdot i}\]
| Operace | Vzorec | 1. krok | 2. krok |
|---|---|---|---|
| součet | \(v = x + y\) | \(\Delta v = \Delta x + \Delta y\) | \(\delta v = \dfrac{\Delta v}{\bar{v}} \cdot 100\ \%\) |
| rozdíl | \(v = x - y\) | \(\Delta v = \Delta x + \Delta y\) | |
| součin | \(v = x \cdot y\) | \(\delta v = \delta x + \delta y\) | \(\Delta v = \dfrac{\delta v \cdot \bar{v}}{100\ \%}\) |
| podíl | \(v = \dfrac{x}{y}\) | \(\delta v = \delta x + \delta y\) | |
| mocnina | \(v = x^n\) | \(\delta v = n \cdot \delta x\) | |
| odmocnina | \(v = \sqrt[n]{x}\) | \(\delta v = \dfrac{\delta x}{n}\) |
Zapisujte hodnoty, které jste naměřili při laboratorní práci — šířku učebny svinovacím metrem (\(l_1\)) a dřevěným pravítkem (\(l_2\)). Po vyplnění kroku klikněte na Dále — od kroku 3 se výsledky kontrolují podle vašich naměřených hodnot.
Objem tělesa určíme odměrným válcem jako rozdíl objemu vody s ponořeným tělesem (\(V_2\)) a bez něj (\(V_1\)). Zapište výsledky svých měření a klikněte na Dále — každý krok se kontroluje podle vašich naměřených hodnot.
Objem stejného válečku určíme také výpočtem z jeho průměru \(d\) a výšky \(v\) změřených posuvným měřítkem. Zapište výsledky svých měření a klikněte na Dále — každý krok se kontroluje podle vašich naměřených hodnot.
Z hodnot naměřených při určování měrné tepelné kapacity kovu vypočítejte \(c_k\) i s odchylkami. Po kliknutí na Začít se zobrazí tabulka naměřených hodnot — pokaždé s trochu jinými čísly.
Upraveno podle materiálu Václav Skřivan: Zpracování dat nepřímého měření – pracovní úkoly k výkladu, Gymnázium Jaroslava Vrchlického, Klatovy (licence CC BY-NC-SA 4.0).